全面掌握单纯形法：详细步骤解析

单纯形法是一种用于求解线性规划问题的经典算法，最早由美国数学家George Dantzig于1947年提出。线性规划是数学规划的一个分支，其目标是在一组线性约束条件下，找到使线性目标函数达到最大值或最小值的变量值。单纯形法的基本思想是通过在顶点（或称为极点）之间移动来逐步逼近线性规划问题的最优解。以下是单纯形法各个步骤的详细解析。

一、线性规划问题的标准形式

首先，需要将线性规划问题转化为标准形式。标准形式要求：

1. 目标函数统一为求极大值（或极小值，极小值可以通过乘以-1转化为极大值问题）。

2. 所有约束条件（除变量的非负条件外）必须都是等式，约束条件右端常数项b_i必须全为非负值。

3. 所有变量的取值必须全为非负值。

对于不满足上述条件的问题，需要进行适当的转换。例如，对于小于等于零的变量x_j，可以定义新变量x_j' = -x_j，使其变为大于等于零的变量。对于无约束的变量x_j，可以引入两个新的非负变量x_j'和x_j''，然后用x_j = x_j' - x_j''替换原问题中的x_j。对于不等式约束，可以通过引入松弛变量（对于“≤”型约束）或减去松弛变量（对于“≥”型约束）将其转化为等式约束。

二、初始化单纯形表

将标准形式的线性规划问题表示成一个单纯形表。这个表包括决策变量、松弛变量（将不等式约束转化为等式）、目标函数系数等信息。初始时，表中的值是将约束条件化为等式后的解。这个解通常是人为构造的一个基本可行解，它满足所有约束条件，并且非基变量的取值都为0。

三、选择入基变量

在单纯形法的迭代过程中，首先需要选择一个非基变量作为入基变量。这个变量的选择通常是基于它对目标函数值的影响。具体来说，可以计算目标函数的变化率（也称为检验数），选择变化率最大的变量作为入基变量。变化率可以通过计算目标函数系数与约束条件系数矩阵的乘积来得到。

四、选择出基变量

选择了入基变量之后，接下来需要选择一个出基变量。出基变量的选择必须满足约束条件的有效性，即使得约束条件保持有效。这通常是通过计算约束条件右端常数项b与入基变量列的比值来实现的。选择比值中最小的非负数对应的变量作为出基变量。如果比值中有负数，说明当前的基本可行解不是最优解，可以通过增加入基变量的值来改进目标函数值。

五、更新单纯形表

确定了入基变量和出基变量之后，需要更新单纯形表。这通常是通过高斯消元法来实现的。具体来说，将出基变量所在的行除以出基变量在入基变量列中的值，使得出基变量在入基变量列中的值为1。然后，用其他行减去出基变量行乘以该行在入基变量列中的值，使得其他行在入基变量列中的值为0。这样，就完成了单纯形表的更新。

六、迭代过程

重复选择入基变量、选择出基变量、更新单纯形表的过程，直到满足停止条件为止。停止条件通常有两种：

1. 最优性检验：若在当前表的目标函数对应的行中，所有非基变量的系数非正，则可判断得到最优解（目标值不会再继续增大），可停止计算。

2. 无解或无法继续：如果找不到合适的入基变量或出基变量，说明问题无可行解或当前解已是最优解（但在实际操作中，由于数值计算误差等原因，可能需要设置一定的容差来判断是否达到最优解）。

七、输出结果

当算法终止时，单纯形表的最后一列为目标函数值（对于求极小值问题，需要取负值），各个决策变量的取值可以从单纯形表中读出。这些取值就是线性规划问题的最优解。

八、示例

以下是一个简单的线性规划问题及其单纯形法求解过程的示例：

问题：

最大化目标函数：3x1 + 4x2 + 2x3 + 5x4 - x5 - 2x6

约束条件：

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 - x5 + x6 <= 10

x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 - x6 <= 20

x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0

求解过程：

1. 将问题转化为标准形式，并引入松弛变量x7和x8。

2. 构造初始单纯形表，选择(x7, x8)作为初始基变量，其余变量为非基变量。

3. 计算目标函数的检验数，选择检验数最大的非基变量作为入基变量。

4. 计算比值，选择比值最小的非负数对应的变量作为出基变量。

5. 更新单纯形表，重复步骤3-4，直到所有检验数非正为止。

6. 读取单纯形表，得到最优解。

九、总结

单纯形法是一种有效的求解线性规划问题的方法。它通过逐步逼近最优解的方式，在顶点之间移动，直到找到使目标函数达到最大值或最小值的变量值。虽然单纯形法的理论复杂度较高，但在实际应用中，由于其直观易懂和易于实现的特点，仍然被广泛使用。此外，随着计算机技术的发展，单纯形法的计算效率也得到了显著提高，使得它能够处理更大规模的线性规划问题。